Maximizar utilidad
Queremos llegar a la mejor combinación posible de X e Y.
DOXA Aprende · E001MicroeconomíaEdición revisada 2026
¿Cómo usar Lagrange sin morir en el intento?
Multiplicadores de Lagrange en economía, explicados desde la intuición hasta la solución. Primero entiende el problema; después construimos las ecuaciones.
Una función · una restricción · una decisión
ℒ = U(x,y) + λ·R
Lagrange convierte un problema de “quiero maximizar esto, pero no puedo hacer cualquier cosa” en un sistema que podemos resolver.
U(x,y)lo que quieres maximizar
R = 0lo que te limita
λel valor de relajar esa restricción
01 · Antes de las fórmulas
Empieza por el problema.
Tienes un presupuesto limitado y dos cosas que te gustan. ¿Qué combinación te conviene elegir?
Ésa es la intuición detrás del ejemplo clásico de maximización de utilidad. No puedes comprar cantidades infinitas: el ingreso y los precios imponen una restricción. Lagrange nos ayuda a encontrar la mejor combinación dentro de lo que sí puedes pagar.
Laboratorio de presupuesto
Juega antes de resolver.
Cambia el ingreso, los precios o la cantidad de X. Y se ajusta para que siempre respetes el presupuesto.
La cantidad de Y se calcula con el dinero que queda.
Y que puedes comprar10.0
Utilidad √(xy)7.07
Canasta óptimax*=5 · y*=10
Presupuesto usadoRD$100 / RD$100
GráficoRestricción y punto óptimo
Tu canastaÓptimo
02 · La intuición
¿Qué está buscando Lagrange?
En una solución interior regular, buscas la curva de utilidad más alta que todavía toca tu restricción.
Esa idea geométrica se traduce en condiciones matemáticas. La restricción define lo que puedes hacer; las preferencias describen qué combinaciones valoras; el óptimo reconcilia ambas cosas.
No todo es posible
Ingreso y precios delimitan las canastas que puedes comprar.
El mejor punto factible
Para el ejemplo suave e interior, las pendientes coinciden en el punto de tangencia.
03 · Paso a paso
Construye la lagrangiana.
No memorices una fórmula aislada. Construye cada pieza y entiende por qué está ahí.
Usaremos el mismo ejemplo del laboratorio: utilidad U(x,y)=√(xy), ingreso de RD$100, precio de X de RD$10 y precio de Y de RD$5.
Paso 1
Empieza por lo que quieres maximizar.
Una precisión importante.
El método de multiplicadores de Lagrange es para optimización con restricciones. Que no exista una restricción no significa que toda maximización sea imposible: también existe la optimización no restringida.
04 · El símbolo raro
¿Qué significa λ?
λ no es “el costo de oportunidad entre los dos bienes”. Es el multiplicador asociado a la restricción.
Bajo las condiciones adecuadas, puede interpretarse como un valor sombra: cuánto cambiaría el valor óptimo si relajaras ligeramente la restricción. En este ejemplo, cuánto aumentaría la utilidad máxima si tuvieras un peso adicional de ingreso.
λ
Valor de relajar la restricción
En el ejemplo base, λ ≈ 0.071. En la escala artificial de esta función de utilidad, un peso adicional de presupuesto elevaría la utilidad máxima aproximadamente 0.071 unidades alrededor de ese punto.
No confundir conTMS
La tasa marginal de sustitución compara las utilidades marginales de X e Y y describe la pendiente de la curva de indiferencia. Esa relación entre bienes es distinta del significado de λ.
05 · Dos caminos
Lagrange vs. TMS.
En el problema clásico de consumidor, ambos caminos pueden llevar a la misma canasta interior.
El artículo original ya presentaba la TMS como método alternativo. Aquí la usamos para mostrar la intuición: en el óptimo interior, la pendiente de la curva de indiferencia coincide con la relación de precios.
Multiplicadores de Lagrange
ℒ = U(x,y) + λ(m − pₓx − pᵧy)
Deriva respecto a x, y y λ; luego resuelve el sistema de condiciones.
=
Tasa marginal de sustitución
UMgₓ / UMgᵧ = pₓ / pᵧ
Iguala la pendiente de las preferencias a la pendiente de la restricción y usa el presupuesto para recuperar x* e y*.
06 · La receta no siempre basta
Cuándo debes tener cuidado.
Las condiciones de primer orden son una herramienta, no una garantía automática de que encontraste “la respuesta”.
La edición de 2026 hace explícitos algunos casos que la guía original simplificaba para mantener la explicación corta.
La mejor elección puede estar en un extremo del presupuesto. La condición de tangencia interior puede no describir el óptimo.
Una función con “esquina” requiere más cuidado porque la derivada estándar no está definida en el quiebre.
Cuando la restricción es ≤ o ≥ y puede no estar activa, las condiciones de Kuhn–Tucker generalizan la lógica de Lagrange.
Un punto estacionario puede ser mínimo, máximo o silla. La forma de la función y condiciones de segundo orden ayudan a verificarlo.
07 · Ahora tú
Practica sin mirar la solución.
Misma utilidad, nuevos precios y presupuestos.
Los ejercicios usan U(x,y)=√(xy), de modo que puedes concentrarte en el procedimiento. Escribe la canasta óptima y comprueba tu respuesta.
Ejercicio
08 · Herramienta rápida
Formulario de derivadas.
La guía original terminaba con reglas básicas de derivación. Conservamos esa idea, pero en formato interactivo.
Selecciona una regla para recordar la estructura antes de regresar al ejercicio.
Potencia
Historia de la publicación
Una idea de 2020, revisada en 2026.
La versión original se conserva. La nueva edición cambia el formato y también afina algunas explicaciones conceptuales.
La intención original era simplificar la curva de aprendizaje. Esa misma intención se mantiene, pero ahora con interacción, visualización y una separación más clara entre la receta básica y sus límites.
Guía breve sobre maximización de utilidad, lagrangiana, derivadas, TMS y reglas generales de derivación.
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Intuición gráfica, ejemplo paso a paso, práctica, formulario interactivo y precisiones sobre soluciones de esquina, λ y optimización restringida.
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